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高等代数,第四版,第六章P271,T18
数学兴趣大讲堂
有理距离
在平面上是否存在一个点,它到单位正方形的四个顶点的距离都是有理数?
第一次知道这个问题竟然没被解决时,我很是吃惊——我原本还以为这个问题会有一些很平凡的解呢。然而,仔细想想也不奇怪,这和很多其他的数学难题一样,本质上都是 Diophantus 方程,其解的存在性都是很难判断的。只不过,某些问题的叙述方式会给人带来一种格外基本、格外初等的感觉。
与这个问题类似的是 Euler 完美长方体问题:是否存在一个长方体,它的长、宽、高、所有面对角线以及体对角线的长度都是有理数?
事实上,还有很多“构造点集让距离满足一定关系”形式的数学问题,它们都是长期以来悬而未解的难题。
另外几个与点集内的距离有关的未解之谜,我也一并写在这里。其中一个问题是 Ulam 在 1945 年提出的:是否存在一个平面上的稠密点集,使得每两个点之间的距离都是有理数?另一个有趣的问题则是,注意到 n 个点两两之间能确定 C(n, 2) 条线段,而这个数目正好等于 1 + 2 + … + (n – 1) 。于是我们想问,是否对于任意一个正整数 n ,我们总能找出平面上任意三点不共线、任意四点不共圆的 n 个点,使得其中有一种长度的线段恰好出现了一次,有一种长度的线段恰好出现了两次,等等,一直到有一种长度的线段恰好出现了 n – 1 次?目前,人们已经构造出了 n ≤ 8 时的解,其中一部分构造可以见这里(问题 12 )。对于 n > 8 的情况究竟是否有解,目前尚无定论。
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